Училищната парабола (y=x^2) може нещо неочаквано: с нейна помощ може да се умножават числа. За изчислението е достатъчно да се изберат две точки на графиката и да се преведе права линия през тях. Мястото, където правата пресича вертикалната ос ще даде резултата от умножението. Това лесно може да се провери на хартия, а идеята, която стои в основата води до по-сложна математика, която се използва в криптографията върху елиптични криви.
Най-лесно е да започнем с конкретен пример. Да приемем, че трябва да изчислим (3 imes 4). На параболата (y=x^2) избираме две точки: ((-3,9)) и ((4,16)). Координатата (y) в първата точка е равна на 9, защото ((-3)^2=9), а във втората е равна на 16, защото (4^2=16). Ако свържем точките с права линия, тя ще пресече ос (y) на отметката 12. Получаваме познатия резултат:
[ 3 imes 4 = 12. ]За нагледен експеримент параболата може да се нарисува върху картон, да се поставят малки пирони в точките с цели координати и да се опъне въже с тежести на краищата между необходимите точки. Няма практическа необходимост от такава конструкция: същият резултат се получава и с обикновен чертеж на хартия или с интерактивен модел на екрана.
Редът на множителите не променя нищо. Вместо точките ((-3,9)) и ((4,16)) можем да вземем ((-4,16)) и ((3,9)). Правата, която ги свързва също ще пресече вертикалната ос в точката (y=12). Правилото важи не само за 3 и 4. Нека вземем произволни числа (a) и (b). На графиката (y=x^2) ще отбележим точките:
[ (-a,a^2) ]и
[ (b,b^2). ]През всякакви две различни точки минава права линия. Нейното уравнение може да се запише в следния вид:
[ y=mx+c, ]Където (m) определя наклона на линията, а (c) е равно на координатата на точката на пресичане с ос (y). Трябва да се докаже, че в избраната конструкция (c=ab).
Поставяме координатите на първата точка в уравнението на правата:
[ a^2=-ma+c. ]За втората точка получаваме:
[ b^2=mb+c. ]Двете уравнения са достатъчни, за да определим неизвестните (m) и (c). От второто уравнение изразяваме (m):
[ m=frac{b^2-c}{b}. ]Сега заместваме полученото изражение в първото уравнение:
[ a^2=frac{a(c-b^2)}{b}+c. ]Умножаваме двете части по (b):
[ a^2b=ac-ab^2+bc. ]Пренасяме слагаемите и групираме израза с (c):
[ a^2b+ab^2=c(a+b). ]Лявата част може да се извади като общ множител:
[ ab(a+b)=c(a+b). ]Когато (a+b eq0), съкращаването дава
[ c=ab. ]Случаят (a+b=0) изисква отделно уточнение: тогава избраните точки ((-a,a^2)) и ((b,b^2)) съвпадат, поради което не може да се проведе единствена права линия през тях. За всички останали двойки числа координатата на пресечната точка с ос (y) действително е равна на произведението на (a) и (b).
Такъв геометричен калкулатор работи и с нецели числа. Например, може да изберете координати, да начертаете права линия и приблизително да определите резултата по мрежата. Точността бързо зависи от точността на самата фигура: колкото по-сложни са координатите, толкова по-трудно е без изчисления да се поставят точките и да се определи мястото на пресичане. Ето защо параболата е интересна преди всичко като нагледно доказателство за връзката между геометрията и аритметиката, а не като заместител на обикновения калкулатор.
Подобен принцип, при който операциите с числа се свързват с точки по кривата се среща и в съвременната криптография. За криптографите са особено полезни задачи със забележима разлика между прякото и обратното изчисление. Дадена операция може да се изпълни сравнително бързо, но възстановяването на изходните данни въз основа на получения резултат при достатъчно големи параметри е изключително трудно.Класически пример за това е RSA. Тази система за криптиране се основава на свойствата на аритметиката на големите цели числа и по-конкретно, на изчислителната сложност на факторизацията на произведението на големи прости числа. Умножаването на известни прости числа е лесно. Намирането на първоначалните множители на едно много голямо произведение е много по-трудно. Криптографията върху елиптични криви използва друга математическа задача. Въпреки наименованието си, елиптичната крива няма формата на елипса. В най-простата си форма над реалните числа семейството на такива криви може да се зададе с уравнение от вида:
[ y^2=x^3+ax+b, ]С точките на елиптичната крива може да се извърши строго определена операция на събиране. Геометричното обяснение е удобно да започне с две точки (P) и (Q). През тях се прокарва права линия. Обикновено правата пресича кубичната крива още в една точка. Получената точка се отразява спрямо ос (x), след което се получава сумата (P+Q). Ако е необходимо да се събере една точка със самата себе си, през (P) се провежда не права линия през две различни точки, а допирателна към кривата. По-нататъшният ред остава същият: намира се още едно пресичане и то се отразява спрямо хоризонталната ос. Операцията се нарича удвояване на точката.
Множественото събиране на една точка със самата нея се записва като:
[
Q=kP,
]
Където (k) е цяло число. Когато са известни (P) и (k), (Q) може да се изчисли доста ефективно. Обратната задача изисква, въз основа на известните (P) и (Q), да се определи (k). В криптографията тя се нарича задача за дискретен логаритъм върху елиптична крива.
Реалните криптографски системи извършват изчисления не върху непрекъсната равнина с обичайни реални координати. Обикновено се използват крайни полета, където координатите и аритметичните операции се подчиняват на модулни правила. Геометричната схема помага да се разбере принципът на събирането на точки, но практичните алгоритми работят с краен набор от допустими стойности.
При правилно избрана крива, размер на полето и други параметри задачата за дискретно логаритмуване изисква огромен обем изчисления. Благодарение на това криптографията върху елиптични криви позволява използването на ключове с по-малък размер в сравнение с RSA, при съпоставимо ниво на класическа сигурност. По-малкият ключ означава по-малко данни за съхранение и предаване и често намалява изчислителните разходи.
Връзката с училищната парабола тук не означава, че криптографските алгоритми директно умножават числата с помощта на графиката (y=x^2). Общият математически принцип е друг: точките върху кривите могат да бъдат снабдени с правила, които превръщат геометрията в аритметика. При параболата правата между две избрани точки неочаквано дава произведението по ос (y). При елиптичните криви операциите върху точките дават математическа структура, върху която се изграждат криптографските алгоритми.