С помощта на AI модела Claude Fable 5, математикът от Anthropic Левент Алпоге откри контрапример към хипотезата на Якоби – известен проблем от алгебричната геометрия, който датира от 87 години. Резултатът се оказа толкова кратък, че се побра в един пост в социалната мрежа X.
Хипотезата на Якоби, формулирана през 1939 година от германския математик Отто-Хенрих Келер твърди, че ако детерминантът на Якоби на дадена функция (нейният „якобиан“) е различен от нула, то за такава функция винаги съществува обратна функция, също състояща се от многочлени. По-просто казано, функция, която не „сгъва“ пространството, трябва да е обратима. През дългата история на хипотезата е имало множество опити тя да бъде доказана, включително опити на известните математици Бениамино Сегре и Волфганг Грьобнер, но всички те съдържаха грешки. Въпреки това бяха намерени доказателства за частни случаи, а компютърните изчисления потвърждаваха нейната валидност за двуизмерния случай с многочлени до 100-тна степен. Въпреки това не успяваше да се намери общо доказателство или опровержение.
hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final
((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x – 3 x^2 y – x^3 z): C^3to C^3,…
Алпоге откри функция в триизмерното пространство, при която детерминантът на Якоби е константата -2, но при това тя преобразува няколко различни входни точки в една изходна, което я прави необратима. Това доказва неверността на хипотезата за всички измерения, по-големи от две. При това първоначалната двуизмерна версия на хипотезата остава отворена. Интересно е, че контрапримерът се оказа толкова прост, че други математици лесно успяха да го проверят. Трудността не се състоеше в изграждането на сложна конструкция, а в търсенето на нужната функция сред огромното пространство от възможни многочлени.
Това не е първият случай, в който изкуственият интелект помага за постигането на пробив в математиката. По-рано, с помощта на изкуствен интелект OpenAI опроверга хипотезата за единичното разстояние, а 23-годишният математик-любител Лиам Прайс доказа проблема на Ердьош №1196 с помощта на изкуствен интелект. Новият резултат обаче се отличава с това, че самият контрапример е изключително прост, а AI помогна именно за неговото откриване, без да изгражда сложно доказателство. Това показва, че технологията може да бъде полезна не само за изготвянето на сложни доказателства, но и за търсенето на неочаквани математически обекти. Какво означава това за бъдещето на математиката – само времето ще покаже.